7月28日(金)に統計学C-Iという科目の期末テストを行いました。問題がやさしすぎるかと思いましたが、最後の1問ができていませんでした。$U:=(\bar{X}-\bar{Y})/\sqrt{\frac{\sigma^2}{m}+\frac{\sigma^2}{n}}\sim N(0,1)$と$V:=(mS_X^2+nS_Y^2)/\sigma^2\sim \chi^2_{m+n-2}$が成立するので、分散$\sigma^2$が何であっても、$U/\sqrt{V/(m+n-2)}\sim t_{m+n-2}$が成立します。丸暗記はいけません。書かれていることがなぜ正しいのか、常に追求する姿勢が重要です。
- サッカーのあるチームが確率$1/2$で勝ち、確率$1/3$で負け、確率$1/6$で引き分けるとき、3試合が終わって1勝2敗0引き分けとなる確率を求めよ。
- 同時確率密度関数が$x\geq 0$, $y\geq 0$で$f_{XY}(x,y)=e^{-x-y}$、それ以外で0となるような確率変数$X,Y$について、$X,Y$それぞれの周辺確率密度関数、$X,Y$の同時分布関数、$X,Y$それぞれの周辺分布関数を求めよ。また、それぞれの$X,Y$は独立か。
- 確率密度関数$U$が$0<u<1$で1、それ以外で0となる確率密度関数$f_U(u)=1$にしたがうとき、$X=-U+1$の確率密度関数を求めよ。
- $U,V\sim N(0,1) \Longrightarrow U-V\sim N(0,2)$を示せ。
- $U,V\sim N(0,1)$として、定数$-1\leq \rho\leq 1$を用いて、確率変数$X=U$, $Y=-\rho U-\sqrt{1-\rho^2}V$の同時密度関数を求めよ。
- $X_1,\cdots,X_n$が平均$\mu$分散$\sigma^2$で独立であると仮定し、$\bar{X}:=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i$として、$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2$と$\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2$のそれぞれの平均を求めよ。
- $m$人が物理の試験を受け、点数の標本平均が$\bar{X}$, 標本分散が$\bar{S}^2_X$、$n$人が生物の試験を受け、点数の標本平均が$\bar{Y}$, 標本分散が$\bar{S}^2_Y$であったとする。分散$\sigma^2$が同じで、平均点に差異がないことを仮定する。このとき、$(\bar{X}-\bar{Y})/\sqrt{\frac{\sigma^2}{m}+\frac{\sigma^2}{n}}$はどのような分布にしたがうか。また、$(mS_X^2+nS_Y^2)/\sigma^2$は、どのような分布にしたがうか。