1年生の統計学C-Iで、質問のあった命題を、丁寧に証明してみました。\begin{eqnarray*}E[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2]=\frac{n-1}{n}\sigma^2\end{eqnarray*}必ずできて欲しいと思っています。
$\displaystyle \sum_{i=1}^n(X_i-\mu)=n\bar{X}-n\mu=n(\bar{X}-\mu)$より、
\begin{eqnarray*}
\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2&=&\sum_{i=1}^n\{(X_i-\mu)-(\bar{X}-\mu)\}^2\nonumber\\
&=&\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2-2\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)(\bar{X}-\mu)+n(\bar{X}-\mu)^2\nonumber\\
&=&\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2-2(\bar{X}-\mu)\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)+n(\bar{X}-\mu)^2\nonumber\\
&=&\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2-2n(\bar{X}-\mu)^2+n(\bar{X}-\mu)^2\nonumber\\
&=&
\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2-n(\bar{X}-\mu)^2\label{eq1}
\end{eqnarray*}また、$X_i-\mu$は$i=1,\cdots,n$で独立で、$i\not=j$であれば、$E(X_i-\mu)(X_j-\mu)=0$であり、$$E(\bar{X}-\mu)^2=E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i-\mu)^2=\frac{1}{n^2}E\{\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)\}^2=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n E(X_i-\mu)^2=\frac{1}{n^2}\cdot n\sigma^2=\frac{\sigma^2}{n}
$$とできる。また、$$E[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2]=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nE(X_i-\mu)^2=E(X_i-\mu)^2=\sigma^2$$となるので、
\begin{eqnarray*}E[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2]=E[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2]-E(\bar{X}-\mu)^2=\sigma^2-\frac{\sigma^2}{n}=\frac{n-1}{n}\sigma^2\\
\end{eqnarray*}
となる。