統計学を勉強していて、スティルチェス積分(Stieltjes integration)にでくわしたことがありますか。
$$\int_{-\infty}^\infty xdF_X(x)$$
で確率変数$X$の平均をあらわすなどです($F_X$で$X$の分布関数)。ルベーグ積分ではなく、リーマン積分と同様に扱えますが、$dF_X(x)$がちょっと不気味な気がして諦める方もいらっしゃらるかと思います。昔の書籍によく出ていたのですが、最近はあまり勉強しなくなってきています。これがなくても、統計学の現場で困ることはないように思われます。
ただ、これがないと、平均や分散を勉強する際に、離散と連続という2個の特殊ケースしか定義できなくなります。しかし、確率密度関数が存在する場合に、通常の平均や分散の定義式になってくるという、事実を載せてはいても、その証明を正しく書いている書籍が皆無に近いように思われました。
朝、大学にきて証明を思いついたので書いてみました。解析学の専門家からすれば、当たり前かもしれませんが(もちろん、研究成果ではなく、素人どうしが利用可能なメモです)。
最近は、大学に入学する学生も、積分可能性についてわかっていない人が多いようです。積分可能でない関数の例を知らないとかです。