1年生の統計学の期末テスト: 解き方を覚えるだけの間違った勉強法から脱却すべし

4月から始まった統計学の1年生の講義、7月27日に期末テストを行った。できる人とできない人とで、大きな差が出た(1/4が80点以上で、1/4が40点以下、平均60点)。残念なことだが、理解をしようとしないで、「解き方を覚えればよい」という考えの学生がかなりいるように思えた。公式を覚えて数字を入れるという作業をしていても、勉強をしていることにならないし、そのやり方をいつかは変えないと、ゼミや卒論を乗り越えることはできない。仮に卒業できたとしても、そういう単純作業しかできない学生は将来、知的な仕事につくことも難しいだろう。まだ1年の前期だし、卒業するまでに変化がおこるものと、信じたい。

以下が今回の問題で、特に問題2,3(頭を使う問題)があまりできていなかった。逆に、問題5,6,7のように演習問題に近い問題はよくできていた。

1. 標本空間$\mathrm{\Omega }$、およびその事象族$\mathcal{F}$があたえられたとき、$\mathcal{F}$を定義域とする写像$P$が確率であることの定義をいえ。ただし、その定義は、3個の条件で、最低限のものからなっているものとする(3条件すべて正しいときのみ10点)。
2. 以下の確率変数$X,Y$について、独立ではないが、共分散が0になっているものをすべてえらべ(答えだけで良い、10点)。
   (a) $X$が等確率で$-1,1$の値をとり、$Y:=-X$
   (b) $U,V$が標準正規分布にしたがうとき、$X:=(U+V)/2$, $Y:=(U-V)/2$
   (c) $X$が標準正規分布にしたがうとき、$Y:=-X$
   (d) $(X,Y)=(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)$が等確率で生じる。
3. 身体測定をして、体重の小数点以下切り捨て測定した値だけが得られ、そうしたデータによって生成される事象族を考える。以下でそのような事象となるものはどれか(答えだけで良い、10点)。
   (a) 60キロ以上61キロ未満、または62キロ以上64キロ未満
   (b) 64キロより大きく、65キロ以下
   (c) 0キロ以上
   (d) 60キロ以上62.5キロ未満
4. ${\mathrm{\Sigma }}_n=A_n{A}_n^T$とかける正則な行列${\mathrm{\Sigma }}_n,A_n\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$、ベクトル$[{\mu }_1,\cdots ,{\mu }_n{]}^T\in {\mathbb{R}}^n$と独立な標準正規分布にしたがう確率変数$U_1,\cdots ,U_n$をもちいて、確率変数$X_1,\cdots ,X_n$を、以下で定義する(15点)。
   $$\left[\begin{array}{c}{X}_1\\ ⋮\\ X_n\end{array}\right]=A_n\left[\begin{array}{c}{U}_1\\ ⋮\\ U_n\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\mu }_1\\ ⋮\\ {\mu }_n\end{array}\right]$$
   (a) 一般の$n$について、共分散行列が${\mathrm{\Sigma }}_n$となることを証明せよ。
   (b) 一般の$n$について、$X=(X_1,\cdots ,X_n)$の同時確率密度関数$f_{X_1\cdots X_n}(x_1,\cdots ,x_n)$はどのような式になるか(答えのみでよい)。
5. 以下の各問に答えよ(20点)
   (a) 確率変数$X$の平均が$\mu$、分散が${\sigma }^2$のとき、任意の$ϵ>0$に対して、${\displaystyle P(|X-\mu |\ge ϵ)\le \frac{{\sigma }^2}{{ϵ}^2}}$(チェビシェフの不等式)を証明せよ。ただし、「$Z$を非負の値をとる確率変数とするとき、$a>0$として、$E[Z]\ge aP(Z\ge a)$」(マルコフの不等式)は証明なしで用いて良い。
   (b) 平均$\mu$が同じで、分散${\sigma }_1^2,\cdots ,{\sigma }_n^2$が異なる確率変数$X_1,\cdots ,X_n$について、
   ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n^2}\sum _{j=1}^n{\sigma }_j^2=0}$ が成立するとき、確率変数の列${\overline{X}}_1,{\overline{X}}_2,\cdots$が$\mu$に確率収束する(大数の弱法則)ことを証明せよ。
6. 独立に発生した平均$\mu$、分散${\sigma }^2$の正規分布にしたがう$X_1,\cdots ,X_n$から、${\displaystyle {\overline{X}}_n:=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i}$および${\displaystyle S_n^2:=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-{\overline{X}}_n{)}^2}$について(20点)、
   (a) $2S_2^2/{\sigma }^2$が自由度1の${\chi }^2$分布にしたがうことを証明せよ。
   (b) $(n+1)S_{n+1}^2/{\sigma }^2-n{S}_n^2/{\sigma }^2$が自由度1の${\chi }^2$分布にしたがうことを証明せよ。ただし、等式${\displaystyle (n+1)S_{n+1}^2-n{S}_n^2=\frac{n}{n+1}(X_{n+1}-{\overline{X}}_n{)}^2}$が成立することは証明無しで用いて良い。
   (c) $X_i-{\overline{X}}_n$, $i=1,\cdots ,n$, と$X_{n+1}-{\overline{X}}_n$の共分散を求めよ。
   (d) $n{S}_n^2/{\sigma }^2$が自由度$n-1$の${\chi }^2$分布にしたがうことを証明せよ。
7. 分散${\sigma }^2$の正規分布にしたがうグループ1の確率変数$X_{1,1},\cdots ,X_{1,n_1}$の値、グループ2の確率変数$X_{2,1},\cdots ,X_{2,n_2}$の値を観測し、両者の平均${\mu }_1,{\mu }_2$の差${\mu }_1-{\mu }_2$が0になることの検定を行いたい。$${\overline{X}}_1:=\frac{1}{n_1}\sum _{i=1}^{n_1}{X}_{1,i},{\overline{X}}_2:=\frac{1}{n_2}\sum _{j=1}^{n_2}{X}_{2,j},S_1^2:=\frac{1}{n_1}\sum _{i=1}^{n_1}(X_{1,i}-{\overline{X}}_1{)}^2,S_2^2:=\frac{1}{n_2}\sum _{j=1}^n(X_{2,j}-{\overline{X}}_2{)}^2$$について、${\mu }_1={\mu }_2$の仮説のもとで、以下の各確率変数は、どのような分布にしたがうか(それぞれ、答えのみでよい。15点)。
   (a) ${\displaystyle \frac{{\overline{X}}_1-{\overline{X}}_2}{\sqrt{{\sigma }^2/n_1+{\sigma }^2/n_2}}}$
   (b)  ${\displaystyle (n_1{S}_1^2+n_2{S}_2^2)/{\sigma }^2}$
   (c) $\sqrt{\frac{{\displaystyle (n_1+n_2-2)n_1{n}_2}}{{\displaystyle (n_1+n_2)(n_1{S}_1^2+n_2{S}_2^2)}}}({\overline{X}}_1-{\overline{X}}_2)$