機械学習でよく用いられるカーネルを用いた独立性検定で、カーネルが特性カーネルであることが要求される。福水健次先生の「カーネル法入門」で、特性カーネルとBochnerの定理の関係が書かれている。伊藤清先生のIntroduction to Probability Theoryで証明を追ってみたら、少し長いが、素人でもわかる感じがしたので、まとめてみた。2変数の差の関数として表されるカーネル(ガウスカーネルなど)を特性関数(確率分布のフーリエ変換)と見たときに、その対応する確率分布のサポートが実数全体となるとき、特性カーネルになる。Bochnerといえば、Bochner積分を思い出すが、尊敬できる数学者である。
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